Abstract

El tema general del Proyecto que se presenta es el estudio de sistemas dinámicos hamiltonianos tanto desde un punto de vista teórico como desde el punto de vista de las aplicaciones en sistemas de interés en Mecánica Celeste, Física Atómica y Molecular y otros campos afines. El objetivo principal es el de profundizar en aspectos relacionados con la teoría cualitativa de los sistemas hamiltonianos, en concreto con la existencia de soluciones especiales, como por ejemplo son las órbitas periódicas, toros invariantes, variedades hiperbólicas y sus variedades estables e inestables asociadas, así como la estabilidad lineal y no lineal de dichas soluciones o sus posibles bifurcaciones. Los métodos que se utilizan están basados en técnicas de simplificación del sistema de partida mediante la aplicación de las teorías de promedios y de formas normales así como la reducción simpléctica en sistemas con simetrías continuas y discretas. Las simetrías pueden ser exactas o aproximadas gracias a la aplicación de los promedios o la normalización. Una vez que la reducción ha sido realizada se analiza el sistema reducido y se reconstruye parcialmente la dinámica del sistema original. Dicha reconstrucción es más sencilla cuando se ha realizado un promedio sobre una variable angular, entonces los puntos críticos no degenerados del sistema reducido se corresponden con soluciones periódicas del sistema original con el mismo tipo de estabilidad. En reducciones relacionadas con más variables angulares se aplica la teoría KAM para establecer la existencia de toros invariantes o la teoría de variedades invariantes hiperbólicas que determina la existenc ia de ciertas variedades así como sus variedades estables e inestables asociadas. Uno de nuestros cometidos consiste en establecer resultados teóricos válidos para ser aplicados a sistemas de interés, por ejemplo, para estudiar la existencia de toros KAM en sistemas donde la perturbación es muy degenerada y aparece a distintos órdenes (más de dos) o en el caso de la reducción singular, donde el espacio fásico reducido no es una variedad ya que presenta puntos singulares que han de estudiarse de forma especial, con lo que la reconstrucción al problema completo es mucho más complicada y hay muy pocos resultados conocidos.